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橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件主題范文:
橢圓是高中數(shù)學(xué)中常見的一種平面圖形,它在幾何圖形的分類中屬于圓錐曲線,它的形狀如同兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2之間的點(diǎn)P到F1和F2的距離之和是一定的,此圖形的中心是連接F1和F2中點(diǎn)的線段中點(diǎn)O,離心率是不超過1的實(shí)數(shù)。本文將從以下幾個(gè)方面介紹橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:橢圓的定義、一些重要性質(zhì)以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,讀者可以通過本文深入了解橢圓的相關(guān)知識。
一、橢圓的定義
橢圓是由定點(diǎn)F1,F2到平面上動(dòng)點(diǎn)r的距離之和等于常數(shù)c>0的點(diǎn)r的集合。其中,F(xiàn)1和F2稱為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),O是他們連線的中點(diǎn),且OF1=OF2=c/2。P點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn),d1和d2平分∠F1PF2,以O(shè)為圓心,OP為半徑作圓,交出一條短軸和一條長軸,其中短軸的2倍是標(biāo)準(zhǔn)方程中的“2b”,長軸的2倍是標(biāo)準(zhǔn)方程中的“2a”。
二、橢圓的性質(zhì)
1、橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值:對于橢圓上任意一點(diǎn)P,都有PF1+PF2=c。
2、橢圓上兩點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和相等:對于橢圓上兩點(diǎn)P1(x1, y1)和P2(x2, y2),有PF1(P1)+PF2(P1) = PF1(P2)+PF2(P2)。
3、橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)連線的夾角和之為180度:對于橢圓上任意一點(diǎn)P,有∠F1PF2 = 180度-2*∠EPF1。其中,E為長軸上與P對稱的點(diǎn)。
4、橢圓的離心率:用"e"表示,“e = c/a”,離心率是一個(gè)標(biāo)識橢圓形態(tài)的因子。
三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示為 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 或 (y^2/a^2) + (x^2/b^2) = 1。其中,橢圓的長軸長度為2a,短軸長度為2b,中心為原點(diǎn)。(0,0)
對于第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程,a表示橢圓的長半軸,b表示橢圓的短半軸,且a>b;對于第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程,a表示橢圓的短半軸,b表示橢圓的長半軸,a
我們可以通過求解標(biāo)準(zhǔn)方程來確定橢圓的形狀,例如,當(dāng)a=2,b=1時(shí),(x^2/4) + (y^2/1) = 1的橢圓形狀為一個(gè)長度為4并且寬度為2的矩形內(nèi)切的圓。
綜上所述,橢圓是一個(gè)非常重要的平面圖形,在數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用,通過本文介紹的橢圓定義、性質(zhì)以及標(biāo)準(zhǔn)方程,相信讀者可以對橢圓有更加全面的認(rèn)識。
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要圖形,是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。在學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),我們需要掌握一些相關(guān)的基礎(chǔ)知識,了解橢圓的定義、性質(zhì)以及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法。在本文中,我們將對這些內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的介紹和講解,并通過例題來幫助讀者加深對橢圓的理解和掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
一、橢圓的定義
所謂橢圓,是指平面上到兩個(gè)固定點(diǎn)F1和F2到距離之和恒定的點(diǎn)的軌跡。 這兩個(gè)點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn),距離之和稱為橢圓的長軸,長軸的中點(diǎn)為橢圓的中心。當(dāng)長軸和短軸分別為2a和2b時(shí),橢圓的面積為πab。
二、橢圓的性質(zhì)
1、橢圓的長軸與短軸交于中心,且相互垂直。
2、橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)到中心距離之差為長軸的一半,即F1C-F2C=a。
3、橢圓長軸與短軸的長度之比為a:b,即長軸與短軸的長度比值為a/b。
4、橢圓的離心率為e=c/a,其中c為焦點(diǎn)到中心的距離。
三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)
我們假設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)O處,且焦點(diǎn)F1在x軸正半軸上,焦點(diǎn)F2在x軸負(fù)半軸上,橢圓長軸在x軸上,短軸在y軸上,且長軸長度為2a,短軸長度為2b。那么橢圓上任意一點(diǎn)(x,y)到焦點(diǎn)F1的距離為d1=(x-a),到焦點(diǎn)F2的距離為d2=(x+a),這時(shí)我們可以列出以下的方程。
(x-a)^2 + y^2 = r1^2
(x+a)^2 + y^2 = r2^2
其中,r1和r2分別表示點(diǎn)(x,y)到焦點(diǎn)F1和F2的距離。
將上面兩個(gè)方程相減得:
(x+a)^2 - (x-a)^2 = r2^2 - r1^2
化簡得:
4ax = r2^2 - r1^2
又因?yàn)椋?/p>
r1 + r2 = 2a
r2 - r1 = 2y
因此,我們可以得到:
r1 = a - e*x
r2 = a + e*x
其中,e=c/a為橢圓的離心率,c是焦點(diǎn)到中心的距離,x為任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
將下面的兩個(gè)方程:
r1 = a - e*x
r2 = a + e*x
代入前面的式子:
4ax = (a+e*x)^2 - (a-e*x)^2
化簡可得:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
這就是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程。
四、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)
1、橢圓的長半軸a和短半軸b分別為橢圓方程中x和y的系數(shù)之根號。
2、如果橢圓的中心在坐標(biāo)軸原點(diǎn),則橢圓方程是對稱的,即x軸和y軸分別為橢圓的對稱軸。
3、如果橢圓的中心不在坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓方程是關(guān)于中心對稱的。
4、橢圓的離心率e滿足0五、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的例題
例1:給定橢圓的長軸長度為8,短軸長度為6,求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。
解:長軸長度為8,即2a=8,因此a=4。短軸長度為6,即2b=6,因此b=3。將a和b代入方程:
x^2/16 + y^2/9 = 1
即為所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
例2:給定橢圓的長軸在x軸上,中心在(3,-2),焦點(diǎn)到中心的距離為5,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解:因?yàn)殚L軸在x軸上,所以中心x坐標(biāo)為3,焦點(diǎn)到中心的距離為5,因此焦點(diǎn)在(8,-2)和(-2,-2),離心率為e=c/a=5/6。將這些信息代入公式:
(x-3)^2/36 + (y+2)^2/27 = 1
即為所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
結(jié)語
通過本文的介紹和講解,我們可以了解橢圓的定義、性質(zhì)以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法。同時(shí),通過例題的講解,我們可以更加深入地理解和掌握橢圓的概念和相關(guān)知識。在實(shí)際應(yīng)用中,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是很重要的,可以幫助我們更好地分析和解決與橢圓相關(guān)的問題。
橢圓是二維平面上的一種幾何形狀,其形狀近似于一個(gè)扁圓的球。其特點(diǎn)是有兩個(gè)焦點(diǎn),所有點(diǎn)到這兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和相等。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以通過焦點(diǎn)和長軸長度來確定。在本篇文章中,我們將重點(diǎn)介紹橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其相關(guān)的性質(zhì)和應(yīng)用。
一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式,一種是普通形式,另一種是中心形式。我們先來看看橢圓的普通形式:
$\displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
其中,(h,k)表示橢圓的中心坐標(biāo),a是長軸的長度,b是短軸的長度。從上式中可以看出,橢圓是對稱的,其中心點(diǎn)位于(x,y)平面上。
橢圓的中心形式為:
$\displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
其中(h,k)為橢圓的中心點(diǎn)坐標(biāo),a是長軸的長度,b是短軸的長度。從中心形式可以看出,橢圓的中心這個(gè)重要的點(diǎn)可以直接讀出,并且坐標(biāo)為(h,k)。
二、橢圓的性質(zhì)
1、橢圓的離心率
橢圓的離心率定義為焦距與長軸的比值,即:
$\displaystyle e=\frac{c}{a}$
其中,c表示兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離。對于任何一個(gè)橢圓,離心率必須滿足0≤e
2、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)
橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn),其坐標(biāo)可以通過下面的公式計(jì)算:
$(h±ae,k)$
其中,(h,k)表示橢圓的中心點(diǎn)坐標(biāo),a是長軸的長度,e是橢圓的離心率。
3、橢圓的面積
橢圓的面積可以通過下面的公式計(jì)算:
$S=πab$
其中a是長軸的長度,b是短軸的長度。
三、橢圓的應(yīng)用
1、軌道運(yùn)動(dòng)
橢圓是天體廣泛運(yùn)動(dòng)的形狀之一,例如人造衛(wèi)星、行星、彗星等都沿著橢圓軌道運(yùn)行。科學(xué)家們通過對橢圓軌道的模擬和分析,可以計(jì)算出行星、衛(wèi)星等天體的運(yùn)動(dòng)情況,進(jìn)而掌握它們的位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
2、建筑設(shè)計(jì)
橢圓是一種非常常見的建筑設(shè)計(jì)元素。例如,橢圓形的穹頂可以為建筑物提供更好的穩(wěn)定性和抗震能力。橢圓形的立柱也能更好地承受建筑物的重量。橢圓形的窗戶則提供了更大的采光面積,讓人們感受到更加寬敞和明亮。
3、醫(yī)療圖像處理
橢圓也具有實(shí)用價(jià)值。例如,醫(yī)學(xué)圖像處理中,醫(yī)生們可以利用橢圓輪廓測量器測量腫瘤的形狀、尺寸等信息,從而對病情進(jìn)行更準(zhǔn)確的評估和治療。
總之,橢圓是一個(gè)重要的二維圖形,具有廣泛的應(yīng)用和實(shí)用價(jià)值。通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),我們可以更好地理解橢圓,并且將它應(yīng)用到實(shí)際生活和工作中。
橢圓是幾何中比較基礎(chǔ)的一個(gè)圖形,在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是一條方程,它能夠完全描述一個(gè)橢圓的幾何特性。在本文中,我將介紹橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。
橢圓是一個(gè)平面上的圖形,它是由所有到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于一定值的點(diǎn)所構(gòu)成的。這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn),它們都在橢圓的長軸上。橢圓的中心也位于長軸上,同時(shí)也是兩個(gè)焦點(diǎn)的中點(diǎn)。長軸對應(yīng)的長度稱為橢圓的長軸,短軸對應(yīng)的長度稱為橢圓的短軸。橢圓的離心率定義為焦點(diǎn)距離與長軸長度的比值。
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$
其中,$a$和$b$分別是橢圓的長軸和短軸的長度,$(h,k)$是橢圓的中心坐標(biāo)。通過這個(gè)方程,我們可以計(jì)算出橢圓上的任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有一些重要的性質(zhì)。首先,橢圓的中心坐標(biāo)為$(h,k)$,它是標(biāo)準(zhǔn)方程中 $(x-h)^2$ 和 $(y-k)^2$ 的系數(shù)。其次,離心率$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 決定了橢圓的形狀。當(dāng)離心率為零時(shí),橢圓變成一個(gè)圓;當(dāng)離心率為一時(shí),橢圓變成一個(gè)拋物線。最后,橢圓的周長和面積可以通過長軸和短軸的長度計(jì)算出來。
在解決實(shí)際問題時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以發(fā)揮重要的作用。例如,在計(jì)算電子軌道和空間天體軌道時(shí),經(jīng)常需要使用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在工程設(shè)計(jì)和圖像處理中,橢圓也有很多應(yīng)用。
總之,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是研究橢圓性質(zhì)的基礎(chǔ),它可以描述橢圓的形狀、大小和位置等重要特征。通過學(xué)習(xí)這個(gè)方程,我們可以更好地理解和應(yīng)用橢圓,為實(shí)際問題的解決提供幫助。
橢圓是平面上的一種幾何形狀,它與圓形非常相似,但其在兩個(gè)軸向上的半徑不同。在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中,橢圓起著重要的作用,可以用于描述許多自然現(xiàn)象、機(jī)械工程和電子學(xué)中的運(yùn)動(dòng)。
因此,學(xué)習(xí)橢圓的基礎(chǔ)知識和標(biāo)準(zhǔn)方程非常重要。以下是一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的課件,并附有相關(guān)的主題范文。
第一部分:基礎(chǔ)知識
橢圓是一個(gè)平面圖形,其輪廓接近于一條細(xì)長的圓環(huán)。橢圓有兩個(gè)主軸,一個(gè)短軸和一個(gè)長軸。長軸被定義為橢圓上相對于短軸的最長線段,短軸則被定義為最短線段。橢圓的中心是其兩條主軸的交點(diǎn)。
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
其中,a和b分別代表橢圓長軸和短軸的兩個(gè)半徑。
如果橢圓的中心是點(diǎn)(h,k),那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)椋?/p>
((x-h)^2/a^2) + ((y-k)^2/b^2) = 1
此外,還有其他形式的橢圓方程,如極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。但是,標(biāo)準(zhǔn)方程是最常見和最基礎(chǔ)的形式。
第二部分:應(yīng)用場景
在物理學(xué)和工程應(yīng)用中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)常出現(xiàn)。例如,在電子學(xué)中,一些磁體被設(shè)計(jì)成具有橢圓形的橫截面,以獲得更平穩(wěn)和均勻的磁場。橢圓形還可以用于描述人類運(yùn)動(dòng)中的一些趨勢,例如,橢圓形的跑步機(jī)模擬行走或跑步時(shí)腳的移動(dòng)。
此外,橢圓形還被廣泛應(yīng)用于行星軌道和天體物理學(xué)中。為了計(jì)算行星的軌道,天文學(xué)家使用古典力學(xué)中的基本方程和幾何。而橢圓形的形狀可以很好地描述行星軌道的橢圓形。
第三部分:練習(xí)
為了更好的理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以下是一些練習(xí),幫助您更好的掌握橢圓基礎(chǔ)知識:
1. 給定橢圓的長軸和短軸長度,計(jì)算其到原點(diǎn)距離。
2. 根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,計(jì)算其長軸和短軸的長度,并繪制出橢圓形。
3. 如果橢圓的中心位于(-3,2),長軸長度為10,短軸長度為6,那么該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是多少?
4. 給定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出其中心坐標(biāo)。
5. 那個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x/9)^2 + (y/4)^2 = 1,其離心率的值是多少?
總之,橢圓形式是一種基本的幾何形狀,具有廣泛的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中起著重要的作用。理解它的標(biāo)準(zhǔn)方程是建立對橢圓的深入理解的關(guān)鍵。在練習(xí)中不斷學(xué)習(xí)橢圓的基礎(chǔ)知識,從而更好地理解其應(yīng)用和化身。
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓是一種非常重要的二次曲線,被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中。在本篇文章中,我們將探討橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
1.橢圓的定義和特點(diǎn)
橢圓是由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2組成的幾何圖形,滿足P到F1和F2的距離之和為定值2a(a>0)的點(diǎn)集合稱為橢圓,F(xiàn)1和F2稱為橢圓的焦點(diǎn),線段F1F2的長度2c稱為橢圓的焦距。橢圓的中心為點(diǎn)O,以及一條連接F1和F2的直線L稱為橢圓的對稱軸,和平分線段L上的點(diǎn)PQ稱為橢圓的主軸。橢圓的離心率為e=c/a。
橢圓的特點(diǎn):
1)橢圓所有點(diǎn)到中心的距離之和相等。
2)對稱軸平分主軸,并垂直于主軸。
3)兩個(gè)焦點(diǎn)與中心的連線平分所有相交于橢圓上兩點(diǎn)的弦。
2.橢圓的方程
我們來研究橢圓的方程。在笛卡爾坐標(biāo)系下,設(shè)橢圓的中心為點(diǎn)(h,k),橢圓的主軸長為2a,次軸長為2b。坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上的條件是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于橢圓的長軸長度。
由于兩個(gè)焦點(diǎn)到橢圓中心的距離相等,我們可以利用勾股定理得:
(x-h)^2+(y-k)^2=(ae)^2
其中,a和e是橢圓的參數(shù)之一。
我們知道,橢圓的長軸長度為2a,取豎直方向?yàn)槔?,則橢圓的坐標(biāo)方程為:
(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是以上方程式,其中a和b分別為橢圓的半軸長,h和k為橢圓的中心坐標(biāo),通過調(diào)整a,b的值和h,k的值可以畫出不同大小和位置的橢圓,在后續(xù)的計(jì)算中,我們可以通過該公式得到橢圓的各種性質(zhì)以及計(jì)算橢圓上的各種問題。
3.橢圓的性質(zhì)
1)橢圓的離心率e(02)橢圓的平面積為πab。
3)橢圓的周長不能用初等函數(shù)表示。
4)橢圓的離心率越接近于0,它趨近于一個(gè)圓。
4.橢圓的應(yīng)用
橢圓作為一個(gè)經(jīng)典的幾何圖形,在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,下面我們介紹一些常見的應(yīng)用:
1)橢圓在衛(wèi)星傳輸、交叉軌道導(dǎo)彈等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用,因?yàn)闄E圓可以模擬被衛(wèi)星或?qū)椄櫟牡厍蜍壍馈?/p>
2)在鏡片設(shè)計(jì)中,橢圓的特殊形狀可以用來修正顯微鏡物鏡中的像差,以及在光學(xué)成像中使用的光學(xué)元件的設(shè)計(jì)。
3)在機(jī)械設(shè)計(jì)中,橢圓可以用來構(gòu)建擺線齒輪、齒輪傳動(dòng)等機(jī)構(gòu)。
4)在建筑設(shè)計(jì)中,橢圓可以決定建筑物的形狀和流線型。
總結(jié)
橢圓是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念,對于我們了解數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有很大的幫助。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是我們研究橢圓性質(zhì)以及求解問題的基礎(chǔ),同時(shí),從橢圓的定義和特點(diǎn)來看,橢圓同樣是一個(gè)非常具有美感和幾何魅力的圖形。
《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案 陽江市兩陽中學(xué)? 馮大恒 ? ● 教學(xué)目標(biāo): 理解橢圓的定義了解用橢圓定義推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; ● 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo); 難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo); ● 教學(xué)方法 啟發(fā)、探索 ● 教學(xué)手段 通過學(xué)生協(xié)助在黑板作出橢圓的圖型 ● 教學(xué)過程 ⒈創(chuàng)設(shè)情景、引入概念 1.首先講出體育場的平面圖及一些形狀橢圓圖形成,形象地給出橢圓,然后請同學(xué)列舉一些實(shí)際生活中的橢圓形的例子。 指出:橢圓在實(shí)際生活中是很常見的,學(xué)習(xí)橢圓的有關(guān)知識也是十分必要的。提出問題:橢圓其標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的?激發(fā)出學(xué)生的求知欲,提高學(xué)習(xí)橢圓的興趣,也使他們的注意力集中到課堂上。 2. 教學(xué)手段 準(zhǔn)備好紙板、圖釘、繩子等材料,為學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)條件讓三個(gè)學(xué)生到黑板上作圖;同時(shí)發(fā)揮多媒體的教學(xué)作用,用課件演示教學(xué)內(nèi)容,用投影展示學(xué)生嘗試學(xué)習(xí)的成果,提高課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。 教學(xué)流程 ? 4概括橢圓的定義 1展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界的橢圓 3回顧圓的'定義和方程 5研究橢圓的方程 6運(yùn)用 7小結(jié)與思考 2協(xié)助做橢圓 ? 用多媒體演示從橢圓變化到圓的過程,把圓與橢圓進(jìn)行類比,并得到橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和是常數(shù)(大于OF 1F2O)的點(diǎn)的軌跡。兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2稱為焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)之間的距離稱為焦距,記為2c。若設(shè)M為橢圓上的任意一點(diǎn),則OMF1O+OMF2O=2 。 ? ⒊標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn),在推導(dǎo)時(shí)應(yīng)抓住“建立坐標(biāo)系”和“簡化方程”這兩個(gè)環(huán)節(jié)。 ① 建系:給出四種建立坐標(biāo)系的方法,同時(shí)教師結(jié)合建立坐標(biāo)系的一般原則---使點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何量的表達(dá)式簡單化,并從“對稱美”、“簡潔美”的角度出發(fā)作一定的點(diǎn)撥,最后讓學(xué)生選擇合理的坐標(biāo)系。 ② 設(shè)點(diǎn):設(shè)點(diǎn)M( )是橢圓上任意一點(diǎn),且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(-c,0)、F2(c,0) ③ 列式:依據(jù)橢圓的定義式OMF1O+OMF2O=2 列方程,并將其坐標(biāo)化為 。 ④ 化簡:通過移項(xiàng)、兩次平方后得到: ,為使方程簡單、對稱、和諧,引入字母b,令 ,可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)。 讓學(xué)生將橢圓的x、y軸互換,通過合理的猜想得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在學(xué)生得出橢圓的兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后,請學(xué)生思考:如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點(diǎn)的位置? 通過分析可得:含 、的分式的分母誰大,焦點(diǎn)就在那個(gè)軸上。 ? 例1. 判斷下列方程表示的曲線是否為橢圓,若是請求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。 ① ? ② ?③ ?? ? 例2. 己知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,焦距是6,橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和是10,寫出這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 ? 例3.橢圓 上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6,則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F2的距離是 。 ? ? ⒌歸納小結(jié) ⑴知識小結(jié):學(xué)生自己小結(jié)。? ⑵方法小結(jié):①用坐標(biāo)法研究曲線 ②用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析問題 ? ? ? 6.布置作業(yè) ⑴書第84頁A組1、2? B組1、2 ? ?
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓是一種重要的數(shù)學(xué)圖像,在幾何和代數(shù)中都有重要的應(yīng)用。 橢圓在幾何上是一個(gè)封閉的曲線,其所有點(diǎn)的距離到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)被稱為橢圓的長半軸。在代數(shù)中,橢圓可以用標(biāo)準(zhǔn)方程來表示,標(biāo)準(zhǔn)方程由y軸的坐標(biāo)和x軸的坐標(biāo)組成。在本篇文章中,我們將探討橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,包括定義、公式、圖例和應(yīng)用。
標(biāo)準(zhǔn)方程的定義
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是一種代數(shù)方程,可以用來描述一個(gè)橢圓。它的一般形式為:
$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
其中,(h,k)是橢圓的中心點(diǎn)的坐標(biāo),a是橢圓的長半軸,b是橢圓的短半軸。
這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的含義可以用幾何的方法理解。橢圓上的任意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)可以分別用a和b相對應(yīng)的半徑 r1和 r2表示。更具體地說,半徑 r1是點(diǎn)P到橢圓的長軸的距離,半徑 r2 是點(diǎn)P到橢圓的短軸的距離。這里的長軸和短軸是橢圓的兩個(gè)主要軸線。
然后,標(biāo)準(zhǔn)方程的分子部分描述了點(diǎn)P到中心點(diǎn)的距離。分母部分描述了橢圓的兩個(gè)半徑。因此,這個(gè)方程的實(shí)際含義是,橢圓上的任何一點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離與軸長的比值都相等。
公式的應(yīng)用
通過標(biāo)準(zhǔn)方程,我們可以很容易地確定橢圓上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)方程式,我們可以計(jì)算出橢圓兩個(gè)軸的長度、中心點(diǎn)的坐標(biāo)以及ELIPSE的離心率。離心率是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離與長軸長度的比值。
除此之外,標(biāo)準(zhǔn)方程還可用于計(jì)算橢圓的面積。 方程式$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$可轉(zhuǎn)化為 $y=\pm\frac{a}\sqrt{a^2-(x-h)^2}+k$。我們可以使用幾何的方法計(jì)算橢圓的面積,或者使用積分計(jì)算。 它的面積公式為:$S=\pi ab$。
圖例的應(yīng)用
下面是一張標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓示意圖:
在這個(gè)橢圓上,橢圓的中心點(diǎn)是(5,3),它的長半軸是12,短半軸是8。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度,以給出橢圓的表面。如果我們計(jì)算橢圓上點(diǎn)A的坐標(biāo),我們可以使用標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算。
$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
$\frac{(x-5)^2}{144}+\frac{(y-3)^2}{64}=1$
當(dāng)x=13,我們可以通過解方程得出的y是7或-1。所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(13,7)或(13,-1)。
結(jié)論
橢圓是一種重要的數(shù)學(xué)圖像。它在幾何和代數(shù)中都有許多應(yīng)用。 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是一種方便的方法,可用于計(jì)算橢圓上的任意點(diǎn),方程中包括橢圓的中心點(diǎn)、半軸、面積以及離心率等。
通過學(xué)習(xí)和運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,我們可以更好地理解橢圓,為解決許多數(shù)學(xué)問題提供方便。
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握橢圓的定義,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程;2.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;3.通過對橢圓概念的引入教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力;4.通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法,并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法,提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力; 5.通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識.
教學(xué)建議
教材分析
1.? 知識結(jié)構(gòu)
?
2.重點(diǎn)難點(diǎn)分析
重點(diǎn)是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式.難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo).關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡的方法.
橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容:一是橢圓的定義;二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的,所以教材把對橢圓的研究放在了重點(diǎn),在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的.
(1)對于橢圓的定義的理解,要抓住橢圓上的點(diǎn)所要滿足的條件,即橢圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì),可以對比圓的定義來理解.
另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于? .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況,即:“當(dāng)常數(shù)等于? 時(shí)軌跡是一條線段;當(dāng)常數(shù)小于? 時(shí)無軌跡”.這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).但講解橢圓的定義時(shí)注意不要忽略這兩種特殊情況,以保證對橢圓定義的準(zhǔn)確性.
(2)根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意下面幾點(diǎn):
①曲線的方程依賴于坐標(biāo)系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方.應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理,發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,以這兩條對稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸,不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡單,而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.
②設(shè)橢圓的焦距為? ,橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ,令? ,這些措施,都是為了簡化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔,要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會(huì).
③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無理方程的化簡,這既是我們今后在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到的問題,又是學(xué)生的難點(diǎn).要注意說明這類方程的化簡方法:①方程中只有一個(gè)根式時(shí),需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè),把其他項(xiàng)移至另一側(cè);②方程中有兩個(gè)根式時(shí),需將它們分別放在方程的兩側(cè),并使其中一側(cè)只有一項(xiàng).
④教科書上對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),實(shí)際上只給出了“橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程? “而沒有證明,”方程? 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上”.這實(shí)際上是方程的同解變形問題,難度較大,對同學(xué)們不作要求.
(3)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點(diǎn)
中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在? 軸上,? 軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:? ,? .它們的相同點(diǎn)是:形狀相同、大小相同,都有? ,? .不同點(diǎn)是:兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
橢圓的焦點(diǎn)在 軸上? 標(biāo)準(zhǔn)方程中? 項(xiàng)的分母較大;
橢圓的焦點(diǎn)在 軸上? 標(biāo)準(zhǔn)方程中? 項(xiàng)的分母較大.
另外,形如? 中,只要? ,? 同號,就是橢圓方程,它可以化為? .
(4)教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個(gè)作用:第一是教給學(xué)生利用中間變量求點(diǎn)的軌跡的方法;第二是向?qū)W生說明,如果求得的點(diǎn)的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同,那么這個(gè)軌跡是橢圓;第三是使學(xué)生知道,一個(gè)圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓.
教法建議
(1)使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣,體會(huì)圓錐曲線知識在實(shí)際生活中的作用,可由實(shí)際問題引入,從中提出圓錐曲線要研究的問題,使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù),如書中所給的例子,還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。
例如,我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運(yùn)行,太陽系的其他行星也如此,太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.如果這些行星運(yùn)動(dòng)的速度增大到某種程度,它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個(gè)原理.相對于一個(gè)物體,按萬有引力定律受它吸引的另一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng),不可能有任何其他的軌道.因而,圓錐曲線在這種意義上講,它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式,另外,工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線,都和圓錐曲線有關(guān),圓錐曲線在實(shí)際生活中的價(jià)值是很高的.
(2)安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物,使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷
為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷,但為了節(jié)約課堂時(shí)間,教學(xué)時(shí)應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動(dòng)手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等,以加深對圓錐曲線的認(rèn)識.
(3)對橢圓的定義的引入,要注意借助于直觀、形象的模型或教具,讓學(xué)生從感性認(rèn)識入手,逐步上升到理性認(rèn)識,形成正確的`概念。
教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道,談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等,讓學(xué)生先對橢圓有一個(gè)直觀的了解。
教師可事先準(zhǔn)備好一根細(xì)線及兩根釘子,在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義之前,教師先在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)(兩定點(diǎn)之間的距離小于細(xì)線的長度),再讓兩名學(xué)生按教師的要求在黑板上畫一個(gè)橢圓。畫好后,教師再在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)(兩定點(diǎn)之間的距離大于細(xì)線的長度),然后再請剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過觀察兩次作圖的過程,總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn),教師因勢利導(dǎo),讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴(yán)格的定義。這樣,學(xué)生對這一定義就會(huì)有深刻的了解。
(4)將提出的問題分解為若干個(gè)子問題,借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)
在教學(xué)時(shí),可以設(shè)置幾個(gè)問題,讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦,獨(dú)立思考,自主探索,使學(xué)生根據(jù)提出的問題,利用多媒體,通過觀察、實(shí)驗(yàn)、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過程()中,可以提出“到兩定點(diǎn)的距離的和為定值的點(diǎn)的軌跡一定是橢圓嗎”,讓學(xué)生通過課件演示“改變焦距或定值”,觀察軌跡的形狀,從而挖掘出定義的內(nèi)涵,這樣就使得學(xué)生對橢圓的定義留下了深刻的印象。
(5)注意橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系
在講解橢圓的定義時(shí),就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征,一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性,這樣在建立坐標(biāo)系時(shí),學(xué)生就比較容易選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系了,即使焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,對稱中心是原點(diǎn)(此時(shí)不要過多的研究幾何性質(zhì)).雖然這時(shí)學(xué)生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標(biāo)系,但在有了一定感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的一般原則,學(xué)生就較為容易接受,也向?qū)W生逐步滲透了坐標(biāo)法.
(6)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)教師要注意化解難點(diǎn),適時(shí)地補(bǔ)充根式化簡的方法.
推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),由于列出的方程為兩個(gè)跟式的和等于一個(gè)非零常數(shù),化簡時(shí)要進(jìn)行兩次平方,方程中字母超過三個(gè),且次數(shù)高、項(xiàng)數(shù)多,教學(xué)時(shí)要注意化解難點(diǎn),盡量不要把跟式化簡的困難影響學(xué)生對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的整體認(rèn)識.通過具體的例子使學(xué)生循序漸進(jìn)的解決帶跟式的方程的化簡,即:(1)方程中只有一個(gè)跟式時(shí),需將它單獨(dú)留在方程的一邊,把其他各項(xiàng)移至另一邊;(2)方程中有兩個(gè)跟式時(shí),需將它們放在方程的兩邊,并使其中一邊只有一項(xiàng).(為了避免二次平方運(yùn)算)
(7)講解了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后鼓勵(lì)學(xué)生探索橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn),加深對橢圓的認(rèn)識.
(8)在學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識
橢圓也是一種曲線,所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用,在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要注意進(jìn)一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程,要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾,而是由于橢圓方程的化簡過程是等價(jià)變形,而證明過程較繁,所以教材沒有要求也沒有給出證明過程,但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明,注意只有方程的化簡是等價(jià)變形的才可以不用證明,而實(shí)際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時(shí),還需要具體問題具體分析.
(9)要突出教師的主導(dǎo)作用,又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用,課上盡量讓全體學(xué)生參與討論,由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想,由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明,培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神。
橢圓是圓錐曲線中重要的一種,本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是后繼學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的基礎(chǔ),坐標(biāo)法是解析幾何中的重要數(shù)學(xué)方法,橢圓方程的推導(dǎo)是利用坐標(biāo)法求曲線方程的很好應(yīng)用實(shí)例。本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)能很好地在課堂教學(xué)中展現(xiàn)新課程的理念,主要采用學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的方式,使培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力的教學(xué)思想貫穿于本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的始終。
橢圓是生活中常見的圖形,通過實(shí)驗(yàn)演示,創(chuàng)設(shè)生動(dòng)而直觀的情境,使學(xué)生親身體會(huì)橢圓與生活聯(lián)系,有助于激發(fā)學(xué)生對橢圓知識的學(xué)習(xí)興趣;在橢圓概念引入的過程中,改變了直接給出橢圓概念和動(dòng)畫畫出橢圓的方式,而采用學(xué)生動(dòng)手畫橢圓并合作探究的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學(xué)化過程,有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。
橢圓方程的化簡是學(xué)生從未經(jīng)歷的問題,方程的推導(dǎo)過程采用學(xué)生分組探究,師生共同研討方程的化簡和方程的特征,可以讓學(xué)生主體參與橢圓方程建立的具體過程,使學(xué)生真正了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的來源,并在這種師生嘗試探究、合作討論的活動(dòng)中,使學(xué)生體會(huì)成功的快樂,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立主動(dòng)獲取知識的能力。
設(shè)計(jì)例題、習(xí)題的研討探究變式訓(xùn)練,是為了讓學(xué)生能靈活地運(yùn)用橢圓的知識解決問題,同時(shí)也是為了更好地調(diào)動(dòng)、活躍學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力,讓學(xué)生在解決問題中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生大膽實(shí)踐、勇于探索的精神,開闊學(xué)生知識應(yīng)用視野。
一、教材分析
1、教材的地位及作用
圓錐曲線是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容?!皺E圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是《圓錐曲線與方程》第一節(jié)內(nèi)容,是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用“曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實(shí)例。
從知識上說,它是運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實(shí)際演練,同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ);
從方法上說,它為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式;
所以,無論從教材內(nèi)容,還是從教學(xué)方法上都起著承上啟下的作用,它是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。因此搞好這一節(jié)的教學(xué),具有非常重要的意義。
2、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析,考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征,制定如下教學(xué)目標(biāo):
(1)、知識目標(biāo):掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求,熟悉求曲線方程的一般方法。
(2)、能力目標(biāo):讓學(xué)生通過自我探究、合作學(xué)習(xí)等,提高學(xué)生實(shí)際動(dòng)手、合作學(xué)習(xí)以及運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力。
(3)、情感目標(biāo):在教學(xué)中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系,體會(huì)數(shù)與形的統(tǒng)一,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,勇于鉆研的精神。
3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
教學(xué)難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)。
在學(xué)習(xí)本課前,學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與圓的方程,對曲線和方程的概念有了一些了解與運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn),用坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識。但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度也較淺,對坐標(biāo)法解決幾何問題掌握還不夠。另外,學(xué)生對含有兩個(gè)根式之和(差)等式化簡的運(yùn)算生疏,去根式的策略選擇不當(dāng)?shù)仁菍?dǎo)致“標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”成為學(xué)習(xí)難點(diǎn)的直接原因。
據(jù)以上對教材及學(xué)情的分析,確定橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程為本課的教學(xué)重點(diǎn);橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)為本課的難點(diǎn)。
4、教材處理
根據(jù)新課程大綱要求,本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)以及結(jié)合我班學(xué)生的實(shí)際情況,我把本節(jié)內(nèi)容分2個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。
第一課時(shí),主要研究橢圓的`定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。
第二課時(shí),運(yùn)用橢圓的定義求曲線的軌跡方程。
二、教學(xué)方法和教學(xué)手段
課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題的情境,激發(fā)學(xué)生主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)問題解決問題,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性;有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生個(gè)性思維品質(zhì),這是本節(jié)課的教學(xué)原則。根據(jù)這樣的原則及所要完成的教學(xué)目標(biāo),我采用如下的教學(xué)方法和手段:
教學(xué)方法:我采用的是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等。
1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:用動(dòng)畫演示動(dòng)點(diǎn)的軌跡,啟發(fā)學(xué)生歸納、概括橢圓定義。
2、探索討論法:由學(xué)生通過聯(lián)想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中,有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu);
有利于突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),發(fā)揮其創(chuàng)造性。
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和探索討論法是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學(xué)模式,它能更好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性,實(shí)現(xiàn)師生、生生交流,體現(xiàn)課堂的開放性與公平性。
教學(xué)手段:利用多媒體課件教學(xué),化抽象為具體,降底學(xué)生學(xué)習(xí)難度,增強(qiáng)動(dòng)感及直觀感,增大教學(xué)容量,提高教學(xué)質(zhì)量。
三、學(xué)法指導(dǎo)
“授人以魚,不如授人以漁?!?/p>
教會(huì)學(xué)生:
1、動(dòng)手嘗試;
2、仔細(xì)觀察;
3分析討論;
4、抽象出概念,推出方程。
這樣有利于學(xué)生發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。
四、教學(xué)過程
教學(xué)流程設(shè)計(jì):認(rèn)識橢圓→畫橢圓→定義橢圓→推導(dǎo)橢圓方程→橢圓方程知識講解→橢圓方程知識運(yùn)用→本課小結(jié)→作業(yè)布置
五、教學(xué)評價(jià)
1、這節(jié)課圍繞“認(rèn)識橢圓→畫橢圓→定義橢圓→推導(dǎo)橢圓方程→橢圓方程知識講解→橢圓方程知識運(yùn)用”這一主線展開。
2、教學(xué)中學(xué)生通過觀看動(dòng)畫、動(dòng)手實(shí)踐,自己總結(jié)出橢圓定義,符合從感性上升為理性的認(rèn)識規(guī)律。
3、在整個(gè)教學(xué)過程中,采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等教學(xué)方法,注重?cái)?shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的滲透。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。
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