余弦定理教案通用

余弦定理教案。

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余弦定理教案【篇1】

教材分析這是高三一輪復習，內(nèi)容是必修5第一章解三角形。本章內(nèi)容準備復習兩課時。本節(jié)課是第一課時。標要求本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后應落實在解三角形的應用上。通過本節(jié)學習，學生應當達到以下學習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內(nèi)容與三角函數(shù)、向量聯(lián)系密切。

作為復習課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整理歸納幫助學生進一步達到相應的學習目標。

學情分析學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。

教學目標知識目標：

（1）學生通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正、余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。

（2）學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。

能力目標：

培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思維能力。

情感目標：

通過生活實例探究回顧三角函數(shù)、正余弦定理，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，并應用于生活，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)學的應用價值，在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。

教學方法探究式教學、講練結合

重點難點

1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；

2、正、余弦定理與三角形的有關性質(zhì)的綜合運用。

教學策略

1、重視多種教學方法有效整合；

2、重視提出問題、解決問題策略的指導。

3、重視加強前后知識的密切聯(lián)系。

4、重視加強數(shù)學實踐能力的'培養(yǎng)。

5、注意避免過于繁瑣的形式化訓練

6、教學過程體現(xiàn)“實踐→認識→實踐”。

設計意圖：

學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。

數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數(shù)學知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現(xiàn)以下教學思想：

⑴重視教學各環(huán)節(jié)的合理安排：

在生活實踐中提出問題，再引導學生帶著問題對新知進行探究，然后引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學生繼續(xù)學習新知的欲望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態(tài)，符合學生的認知規(guī)律。

⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。

⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。

余弦定理教案【篇2】

如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA).

現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD = CB .

而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，

根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是 (acos(π-C)，asin(π-C))

即 D點坐標是(-acosC，asinC),

∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)

由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ，

∴ asinA = bsinB = csinC .

由②得 acosC = b-ccosA ，平方得：

a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，

即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ，

c2 = a2 + b2-2abcosC .

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形”的完美結合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因為AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因為jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過A作 ，

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

余弦定理教案【篇3】

1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角

如圖1．1-4，在 ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

= = 8 ∴

＜ ∴ ＜ ， 即 ＜ ＜ ∴

cos ；

[隨堂練習]第51頁練習第1、2、3題。

[課堂小結]（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，

勾股定理是余弦定理的特例；

②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

1．知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

2. 過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質(zhì)求解三角形問題。

3.情態(tài)與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質(zhì)和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

教學重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

教學難點：正、余弦定理與三角形的有關性質(zhì)的綜合運用。

學法：通過一些典型的實例來拓展關于解三角形的各種題型及其解決方法。

教學設想:[創(chuàng)設情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。

1．當A為鈍角或直角時，必須 才能有且只有一解；否則無解。

2．當A為銳角時，如果 ≥ ，那么只有一解；

（2）若 ，則只有一解； （3）若 ，則無解。

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

[隨堂練習1]

（1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。

（2）在 ABC中，若 ， ， ，則符合題意的b的值有_____個。

（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。 （答案：（1）有兩解；（2）0；（3） ）

例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判斷 ABC的類型。

[隨堂練習2]

（1）在 ABC中，已知 ，判斷 ABC的類型。

（2）已知 ABC滿足條件 ，判斷 ABC的類型。

[隨堂練習3]

（2）在 ABC中，其三邊分別為a、b、c，三角形的面積 ，求角C

[課堂小結]（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，

有兩解或一解或無解等情形；

（2）三角形各種類型的判定方法；

（3）三角形面積定理的應用。

（五）課時作業(yè):

（1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。

（2）設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。

了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式，會運用參數(shù)方程解決問題，進一步加深對參數(shù)方程的理解。

（1） 表示頂點在 ，

焦點在 的拋物線；

（2） 表示頂點在 ，

1、類比橢圓參數(shù)方程的建立，若給出一個三角公式 ，你能寫出雙曲線

的參數(shù)方程嗎？

2、如圖，設拋物線的普通方程為 , 為拋物線上除頂點外的任一點，以

你能否根據(jù)本題的解題過程寫出拋物線的四種不同形式方程對應的參數(shù)方程？并說出參數(shù)表示的意義。

例1．如圖， 是直角坐標原點，A ，B是拋物線 上異于頂點的兩動點，且 ，求點A、B在什么位置時， 的面積最??？最小值是多少？

1．求過P（0，1）到雙曲線 的最小距離.

1．本節(jié)學習了哪些內(nèi)容？

答：1.了解雙曲線的'參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式.

2.會運用參數(shù)方程解決問題，進一步加深對參數(shù)方程的理解。

A、 B、

C、 D、

3.設P為等軸雙曲線 上的一點， 為兩個焦點，證明 .

4、經(jīng)過拋物線 的頂點O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點的軌跡的參數(shù)方程。

例1．甲、乙兩人進行五局三勝制的象棋比賽，若甲每盤的勝率為 ，乙每盤的勝率為 （和棋不算），求：

（1）比賽以甲比乙為3比0勝出的概率；

（2）比賽以甲比乙為3比2勝出的概率。

例2．某地區(qū)為下崗免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。

（1）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；

（2）任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓的人數(shù)，求X的分布列。

例3．A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗，每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組，設每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 。

（1）求一個試驗組為甲類組的概率；

（2）觀察3個試驗組，用X表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求X的分布列。

1．某種小麥在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，今調(diào)查該種小麥100株，試計算兩株和兩株以上變異植株的概率。

2．某批產(chǎn)品中有20%的不含格品，進行重復抽樣檢查，共取5個樣品，其中不合格品數(shù)為X，試確定X的概率分布。

（1）人中恰有2人引起不良反應的概率；

（2）2000人中多于1人引起不良反應的概率；

1．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為（精確為0.0001）_________________。

2．一射擊運動員射擊時，擊中10環(huán)的概率為0.7，擊中9環(huán)的概率0.3，則該運動員射擊3次所得環(huán)數(shù)之和不少于29環(huán)的概率為_______________。

3．某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，有下列結論：①他第3次擊中目標的概率是0.9；②他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1；③他至少擊中目標1次的概率是1－0.14。

其中正確結論的序號是_______________。（寫出所有正確結論的序號）

4．某產(chǎn)品10，其中3次品，現(xiàn)依次從中隨機抽取3（不放回），則3中恰有2次品的概率為_____________。

5．某射手每次射擊擊中目標的概率都是0.8，現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊中目標的次數(shù)X的概率分布。

6．某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對6家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢），若安檢不合格，則必須進行整改，若整改后經(jīng)復查仍不合格，則強行關閉，設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.6，整改后安檢合格的概率是0.9，計算：

（1）恰好有三家煤礦必須整改的概率；

7．9粒種子分種在甲、乙、丙3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種。

（1）求甲坑不需要補種的概率；

（2）求3個坑中需要補種的坑數(shù)X的分布列；

1、知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用

2、過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。

3、情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗

二、重點：推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目。

教學難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題。

[創(chuàng)設情境]

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在

ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h 、h 、h ，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

生：h =bsinC=csinB，h =csinA=asinC，h =asinB=bsinaA

師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S= ah,應用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S= absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？

師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

[范例講解]

例1、在 ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。

解：（1）應用S= acsinB，得 S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )

(2)根據(jù)正弦定理， = ，c = ，S = bcsinA = b

A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5

例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm ）？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。

由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。

解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB= = ≈0.7532，sinB= 0.6578應用S= acsinB S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )

例3、在 ABC中，求證：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設 = = = k，顯然 k 0，所以

（2）根據(jù)余弦定理的推論，

=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左邊

變式練習1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面積S

提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。

Ⅳ.課時小結：利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

2．能根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，進行簡單的應用。

3，3，3，3，……

2．相比與等差數(shù)列，以上數(shù)列有什么特點？

等比數(shù)列的定義：

3．判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請指出公比 的值。

4．求出下列等比數(shù)列的未知項。

（1） ； （2） 。

5．已知 是公比為 的等比數(shù)列，新數(shù)列 也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比是多少？

6．已知無窮等比數(shù)列 的首項為 ，公比為 。

（1）依次取出數(shù)列 中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列還是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？

（2）數(shù)列 （其中常數(shù) ）是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？

例1．在等比數(shù)列 中，

（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。

例2．在243和3中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。

例3．已知等比數(shù)列 的通項公式為 ，（1）求首項 和公比 ；

（2）問表示這個數(shù)列的點 在什么函數(shù)的圖像上？

定義從第二項起，每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)。

課后作業(yè)：

1． 成等比數(shù)列，則 = 。

2．在等比數(shù)列 中，

（1）已知 ，則 = ， = 。

（2）已知 ，則 = 。

（3）已知 ，則 = 。

3．設 是等比數(shù)列，判斷下列命題是否正確？

4．設 成等比數(shù)列，公比 =2，則 = 。

5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。

6．在兩個同號的非零實數(shù) 和 之間插入2個數(shù)，使它們成等比數(shù)列，試用 表示這個等比數(shù)列的公比。

7．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項，依次構成一個等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的通項。

8．已知 五個數(shù)構成等比數(shù)列，求 的值。

9．在等比數(shù)列 中， ，求 。

10．三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。

11．已知等比數(shù)列 ，若 ，求公比 。

12．已知 ，點 在函數(shù) 的圖像上，（ ），設 ，求證： 是等比數(shù)列。

重點難點掌握平面向量的坐標表示及坐標運算；平面向量坐標表示的理解

1、在直角坐標平面內(nèi)一點 是如何表示的？ 。

2、以原點 為起點， 為終點，能不能也用坐標表示 呢？例：

3、平面向量的坐標表示。

例1、如圖，已知 是坐標原點，點 在第一象限， ， ，求向量 的坐標。

例2、如圖，已知 ， ， ， ，求向量 ， ， ， 的坐標。

例3、用向量的坐標運算解：如圖，質(zhì)量為 的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為 ，求斜面對物體的摩擦力 。

例4、已知 ， ， 是直線 上一點，且 ，求點 的坐標。

、 、 、 或 、

2、已知 是坐標原點，點 在第二象限， ， ，求向量 的坐標。

3、已知四邊形 的頂點分別為 ， ， ， ，求向量 ， 的坐標，并證明四邊形 是平行四邊形。

4、已知作用在原點的三個力 ， ， ，求它們的合力的坐標。

5、已知 是坐標原點， ， ，且 ，求 的坐標。

2、已知 ，終點坐標是 ，則起點坐標是 。

3、已知 ， ，向量 與 相等.則 。

4、已知點 ， ， ，則 。

5、已知 的終點在以 ， 為端點的線段上，則 的最大值和最小值分別等于 。

6、已知平行四邊形 的三個頂點坐標分別為 ， ， ，求第四個頂點 的坐標。

7、已知向量 ， ，點 為坐標原點，若向量 ， ，求向量 的坐標。

8、已知點 ， 及 ， ，求點 ， 和 的坐標。

9、已知點 ， ， ，若點 滿足 ，

當 為何值時：（1）點 在直線 上？ （2）點 在第四象限內(nèi)？

1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（當且僅當_______時，等號成立）.

2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（當且僅當_______時，等號成立）.

稱_______為a,b的算術平均數(shù)，_____為a,b的幾何平均數(shù)?；静坏仁接址Q為________.

3. 基本不等式的幾何意義是：_________不小于_________. 如圖

4.利用基本不等式求最大（?。┲禃r，要注意的問題：（一“正”；二“定”；三“相等”）

（2）求積的最大值時，應看和是否為定值；求和的最小值時，應看積是否為定值，；

簡記為：和定積最_____，積定和最______.

（3）只有等號能夠成立時，才有最值。

（二）例題分析：

例1．（陜西）設x、y為正數(shù)，則有(x+y)(1x＋4y)的最小值為（ ）

例2．函數(shù) 的值域是_________________________.

例3（江西、陜西、天津,全國、理） 設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為 ，畫面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最?。?/p>

2.（湖南理）設a＞0, b＞0，則以下不等式中不恒成立的是（ ）

（A） ≥4 （B） ≥

（C） ≥ （D） ≥

3.（2001春招北京、內(nèi)蒙、安徽、理）若 為實數(shù)，且 ，則 的最小值是（ ）

6. 已知兩個正實數(shù) 滿足關系式 , 則 的最大值是_____________.

7.若 且 則 中最小的一個是__________.

8.（2005北京春招、理）經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量 （千輛/小時）與汽車的平均速度 （千米/小時）之間的函數(shù)關系為： 。

（1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度 為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到 千輛/小時）

（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內(nèi)？

（四）拓展訓練：

1.(2000全國、江西、天津、廣東）若 ,P= ,Q= ,R= ,則（ ）

2．若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，分別求ab與a+b的取值范圍。

例3解：設畫面高為x cm，寬為λx cm，則λ x2 = 4840．

設紙張面積為S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，

將 代入上式，得 ．

當 時，即 時，S取得最小值．

答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最?。?/p>

（三）基礎訓練： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.

整理得v2－89v+16000）解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.法二：令 ，則由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0）整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

余弦定理教案【篇4】

如何證明余弦定理

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形”的完美結合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因為AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因為jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過A作 ，

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

參考文獻：

【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學通報第11期.

余弦定理教案【篇5】

人教版數(shù)學必修5§1.1.2余弦定理的教學設計

一、教學目標解析

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。

4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，使學生進一步認識到數(shù)學是有用的。

二、教學問題診斷分析

1、通過前一節(jié)正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題： ①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產(chǎn)生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導學生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當?shù)剡x擇定理以達到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

三、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節(jié)中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數(shù)值是準確數(shù)時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數(shù)運算結果

按通常的運算規(guī)則，是近似值時用約等號。

四、教學過程設計

1、教學基本流程：

①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

②余弦定理的證明：啟發(fā)學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲得定理的證明。

③應用余弦定理解斜三角形。

2、教學情景：

①創(chuàng)設情境，提出問題

問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設

計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最

大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

【設計意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學

生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體

會到數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活。

師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗

試解決。

學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取

C一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用

測角儀測出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就

可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

學生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點

（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出

圖中∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△

BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？

【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學生的主體地位。②求異探新，證明定理

問題2：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。

【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

學生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?

2=a?b?2abcos(?1??2)

?a?b?2abcosC2222222222

AD圖

4學生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

則：c?AD?BD

22222?b?CD?(a?CD)

?a?b?2a?CD

?a?b?2abcosC22222A圖

5學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節(jié)課的重點—余弦定理。

【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有2 22 2 22 22 2

2其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設計意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

學生6：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???22?（c）?（a?b）

?2?2???a?b?2a?b

?2?2?2??即c?a?b?2a?b?cosC

?c?a?b?2abcosC222A

圖6

教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點間的距離公式，你會有什么啟發(fā)？

【設計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC =

b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB22?(acosC?b)?(asinC)

2222 ?a?b?2abcosC

【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數(shù)學學習的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。

③運用定理，解決問題

讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

④小結

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設計意圖】：在學生探究數(shù)學美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

⑤作業(yè)

第1題：用正弦定理證明余弦定理。

【設計意圖】：繼續(xù)要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

第2題：在△ABC

中，已知a?b?B?45?，求角A和C和邊c。

【設計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。

余弦定理教案【篇6】

余弦定理的證明

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的.數(shù)量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形”的完美結合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因為AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因為jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過A作 ，

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

參考文獻：

【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學通報第11期.

余弦定理教案【篇7】

尊敬的評委老師們：

你們好，我今天說課的題目是余弦定理，（說教材） "余弦定理"是人教A版數(shù)學第必修5主要內(nèi)容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中"勾股定理"內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節(jié)課是"正弦定理、余弦定理"教學的第二節(jié)課，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于"定理教學課".

這堂課并不是將余弦定理全盤呈現(xiàn)給學生，而是從實際問題的求解困難，造成學生認知上的沖突，從而激發(fā)學生探索新知識的強烈欲望。另外，本節(jié)與教材其他課文的共

性是都要掌握定理內(nèi)容及證明方法，會解決相關的問題。

下面說一說我的教學思路。

（教學目的）

通過對教材的分析鉆研制定了教學目的：

1.掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法，會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.培養(yǎng)學生在方程思想指導下解三角形問題的運算能力。

3.培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的思維能力。

4.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識的聯(lián)系，來理解事物普遍聯(lián)系與

辯證統(tǒng)一。

（教學重點）

余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，()是解三角形的重要工具。余弦定理是初中學習的勾股定理的拓廣，也是前階段學習的三角函數(shù)知識與平面向量知識在三角形中的交匯應用。本節(jié)課的重點內(nèi)容是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及基本應用，其

中發(fā)現(xiàn)余弦定理的過程是檢驗和訓練學生思維品質(zhì)的重要素材。

（教學難點）

余弦定理是勾股定理的推廣形式，勾股定理是余弦定理的特殊情形，勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中，起到奠基作用，因此分析勾股定理的結構特征是突破發(fā)現(xiàn)余弦定理這個難點的關鍵。

（教學方法）

在確定教學方法之前，首先分析一下學生：我所教的是課改一年級的學生。他們的基礎比正常高中的學生要差許多，拿其中一班學生來說：數(shù)學入學成績及格的占50%

左右，相對來說教材難度較大，要求教師吃透教材，選擇恰當?shù)慕虒W方法和教學手段把

知識傳授給學生。

根據(jù)教材和學生實際，本節(jié)主要采用"啟發(fā)式教學"、"講授法"、"演示法",并采用電教手段使用多媒體輔助教學。

1.啟發(fā)式教學：

利用一個工程問題創(chuàng)設情景，啟發(fā)學生對問題進行思考。在研究過程中，激發(fā)學生探索新知識的強烈欲望。

2. 練習法：通過練習題的訓練，讓學生從多角度對所學定理進行認識，反復的練習，體現(xiàn)學生的主體作用。

3. 講授法：充分發(fā)揮主導作用，引導學生學習。

4. 演示法：利用動畫、圖片，激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生積極性。

這節(jié)課準備的器材有：計算機、大屏幕。

（教學程序）

1. 復習正弦定理（2分鐘）：安排一名同學上黑板寫正弦定理。

2. 設計精彩的新課導入（5分鐘）：利用大屏幕演示一座山，先展示，后出現(xiàn)B、C,

再連成虛線，并閃動幾下，閃動邊AB、AC幾下，再閃動角A的陰影幾下，可測得

AC、AB的長及∠A大小。

問你知道工程技術人員是怎樣計算出來的嗎？

一下子，學生的注意力全被調(diào)動起來，學生一定會采用正弦定理，但很快發(fā)現(xiàn)

∠B、∠C不能確定，陷入困境當中。

3. 探索研究，合理猜想。

當AB=c,AC=b一定，∠A變化時，a可以認為是A的函數(shù)，a=f（A），A∈（0,∏）

比較三種情況，學生會很快找到其中規(guī)律。 -2ab的系數(shù)-1、0、1與A=0、∏/2、∏之間存在對應關系。

教師指導學生由特殊到一般，經(jīng)比較分析特例，概括出余弦定理，這種促使學生主動參與知識形成過程的教學方法，既符合學生學習的認知規(guī)律，又突出了學生的主體地位。"授人以魚",不如"授人以漁",引導學生發(fā)現(xiàn)問題，探究知識，建構知識，對學生

來說，既是對數(shù)學研究活動的一種體驗，又是掌握一種終身受用的治學方法。

4. 證明猜想，建構新知

接下來就是水到渠成，現(xiàn)在余弦定理還需要進一步證明，要符合數(shù)學的嚴密邏輯推理，鍛煉學生自己寫出定理證明的已知條件和結論，請一位學生到黑板寫出來，并請同學們自己進行證明。教師在課中進行指導，針對出現(xiàn)的問題，結合大屏幕打出的正

確過程進行講解。

在大屏幕打出余弦定理，為了促進學生記憶，在黑板上讓學生背著寫出定理，也是當

堂鞏固定理的方法。

5. 操作演練，鞏固提高

定理的應用是本節(jié)的重點之一。我分析題目，請同學們進行解答，在難點處進行點撥。以第二題為例，在求A的過程中學生會產(chǎn)生分歧，一部分采用正弦定理，一部分采用余弦定理，其實兩種做法都可得到正確答案，形成解法一和解法二。在這道例題中進行發(fā)散思維的訓練，（在上例中，能否既不使用余弦定理，也不使用正弦定理，

求出∠A?）

啟發(fā)一：a視為B 與C兩點間的距離，利用B、C的坐標構造含A的等式

啟發(fā)二：利用平移，用兩種方法求出C’點的坐標，構造等式。使學生的思維活躍，漸入新的境界。每次啟發(fā)，或是針對一般原則的提示，或是在學生出現(xiàn)思維盲點

處點撥，或是學生"簡單一跳未摘到果子"時的及時提醒。

6. 課堂小結：

告訴學生余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理

的特例。

7. 布置作業(yè)：書面作業(yè) 3道題

作業(yè)中注重余弦定理的應用，重點培養(yǎng)解決問題的能力。

以上是我的一點粗淺的認識，如有不對之處，請老師評委們給與指教，我的課說完了，謝謝各位。

余弦定理教案【篇8】

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創(chuàng)）

余弦定理

一、教材依據(jù)：人民教育出版社（A版）數(shù)學必修5第一章 第二節(jié)

二、設計思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，是解三角形這一章知識的一個重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識、向量、三角形有著密切的聯(lián)系。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

2、學情分析：這節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了正弦定理及有關知識的基礎上，轉(zhuǎn)入對余弦定理的學習，此時學生已經(jīng)熟悉了探索新知識的數(shù)學教學過程，具備了一定的分析能力。

3、設計理念：由于余弦定理有較強的實踐性，所以在設計本節(jié)課時，創(chuàng)設了一些數(shù)學情景，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，自己去分析、探索和證明。激發(fā)學生濃厚的學習興趣，提高學生的創(chuàng)新思維能力。

4、教學指導思想：根據(jù)當前學生的學習實際和本節(jié)課的內(nèi)容特點，我采用的是“問題教學法”，精心設計教學內(nèi)容，提出探究性問

找到解決問題的方法。

三、教學目標：

1、知識與技能：

理解并掌握余弦定理的內(nèi)容，會用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題

2．過程與方法：

通過實例，體會余弦定理的內(nèi)容，經(jīng)歷并體驗使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發(fā)展用數(shù)學工具解答現(xiàn)實生活問題的能力。

3．情感、態(tài)度與價值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會“數(shù)形結合”的思想。通過余弦定理的應用，感受余弦定理在解決現(xiàn)實生活問題中的意義。

四、教學重點：

通過對三角形邊角關系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應用它們解三角形及求解有關問題。

五、教學難點：余弦定理的靈活應用

六、教學流程：

(一)創(chuàng)設情境，課題導入：

1、復習：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

設計意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系，溝通新舊知識的聯(lián)系，引導學生體會量化

師生活動：用數(shù)學符號來表達“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出課題：余弦定理

（二）設置問題，知識探究

1、探究：我們可以先研究計算第三邊長度的問題，那么我們又從那些角度研究這個問題能得到一個關系式或計算公式呢？ 設計意圖：期望能引導學生從各個不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理

2、①考慮用向量的數(shù)量積：如圖 A

C

??????設CB?a,CA?b,AB?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcosCB 即cab222?a?b?2abcosC,引導學生證明22222

?b?c?2bccosA?c?a?2cacosB2②還 引導學生運用此法來進行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學生自己總結，教師補充完整）

（三）典型例題剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教師分析、點撥并板書證明過程

總結：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是關于三角形三邊和一個角的一個關系式，把這個關系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

設計意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對一個數(shù)學式子作某種變形，從而得到解決其他類型的數(shù)學問題，這是一種基本的研究問題的方法。

師生活動：對余弦定理作某些變形，研究變形后所得關系式的應用。因此應把重點引導到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。

引入余弦定理的推論：cosA=cosB=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosC=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

若A為銳角，則 cosA>0, 從而b2+c2>a2

若A為鈍角，則 cosA﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求A、B、C例2:已知在?ABC中,a?23,b?22,c?

先讓學生自己分析、思索，老師進行引導、啟發(fā)和補充，最后師生一起求解。

總結：對于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內(nèi)角和定理求出第三角。（可以先讓學生歸納總結，老師補充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學生板練，師生共同評判

3、三角形形狀的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

（教師引導學生分析、思考，運用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關系來判定，在運算過程中，盡可能地把角的關系化為邊的關系；二是利用角之間的關系來判定，將邊化成角。

變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

讓學生板練，發(fā)現(xiàn)問題進行糾正。

（四）課堂檢測反饋：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,則A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a25、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形（五）課時小結：（學生自己歸納、補充，培養(yǎng)學生的口頭表達能力和歸納概括能力，教師總結）運用多種方法推導出余弦定理，并靈活運用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。（六）課后作業(yè)：課本第10頁A組3（2）、4（2）；B組第2題（七）教學反思：本堂課的設計，立足于所創(chuàng)設的情境，注重提出問題，引導學生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題的過程，學生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受到了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

余弦定理教案【篇9】

1.地位及作用

"余弦定理"是人教A版數(shù)學必修5主要內(nèi)容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中"勾股定理"內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具具有廣泛的應用價值，起到承上啟下的作用。

2.教學重、難點

重點：余弦定理的證明過程和定理的簡單應用。

難點：利用向量的數(shù)量積證余弦定理的思路。

知識目標：能推導余弦定理及其推論，能運用余弦定理解已知"邊，角，邊"和"邊，邊，邊"兩類三角形。

能力目標：培養(yǎng)學生知識的遷移能力；歸納總結的能力；運用所學知識解決實際問題的能力。

情感目標：從實際問題出發(fā)運用數(shù)學知識解決問題這個過程體驗數(shù)學在實際生活中的運用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學的理性和嚴謹。

數(shù)學課堂上首先要重視知識的發(fā)生過程，既能展現(xiàn)知識的獲取，又能暴露解決問題的思維。在本節(jié)教學中，我將遵循"提出問題、分析問題、解決問題"的步驟逐步推進，以課堂教學的組織者、引導者、合作者的身份，組織學生探究、歸納、推導，引導學生逐個突破難點，師生共同解決問題，使學生在各種數(shù)學活動中掌握各種數(shù)學基本技能，初步學會從數(shù)學角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的愿望和興趣。

本節(jié)教學中通過創(chuàng)設情境，充分調(diào)動學生已有的學習經(jīng)驗，讓學生經(jīng)歷"現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題"的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，把學生的潛意識狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識。又通過實際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質(zhì)。

幫助學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的積極討論。你能夠有更好的具體的量化方法嗎？問題可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩邊長和夾角求第三邊的問題，即：在中已知AC=b,AB=c和A,求a.

學生對向量知識可能遺忘，注意復習；在利用數(shù)量積時，角度可能出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，引導學生分析問題。在中已知a=5,b=7,c=8,求B.

學生思考或者討論，若有同學答則順勢引出推論，若不能作答則由老師引導推出推論，然后返回解決該問題。

讓學生觀察推論的特征，討論該推論有什么用。

余弦定理教案【篇10】

各位老師

大家好！

今天我說課的內(nèi)容是余弦定理，本節(jié)內(nèi)容共分3課時，今天我將就第1課時的余弦定理的證明與簡單應用進行說課。下面我分別從教材分析。目標的確定。方法的選擇和教學過程的設計這四個方面來闡述我對這節(jié)課的教學設想。

一、教材分析

本節(jié)內(nèi)容是江蘇出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修五的第一章第2節(jié)，在此之前學生已經(jīng)學習過了勾股定理。平面向量、正弦定理等相關知識，這為過渡到本節(jié)內(nèi)容的學習起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容實質(zhì)是學生已經(jīng)學習的勾股定理的延伸和推廣，它描述了三角形重要的邊角關系，將三角形的“邊”與“角”有機的聯(lián)系起來，實現(xiàn)邊角關系的互化，為解決斜三角形中的邊角求解問題提供了一個重要的工具，同時也為在日后學習中判斷三角形形狀，證明三角形有關的等式與不等式提供了重要的依據(jù)。

在本節(jié)課中教學重點是余弦定理的內(nèi)容和公式的掌握，余弦定理在三角形邊角計算中的運用；教學難點是余弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明；教學關鍵是余弦定理在三角形邊角計算中的運用。

二、教學目標的確定

基于以上對教材的認識，根據(jù)數(shù)學課程標準的“學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者。引導者與合作者”這一基本理念，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，我認為本節(jié)課的教學目標有：

1、知識與技能：熟練掌握余弦定理的內(nèi)容及公式，能初步應用余弦定理解決一些有關三角形邊角計算的問題；

2、過程與方法：掌握余弦定理的兩種證明方法，通過探究余弦定理的過程學會分析問題從特殊到一般的過程與方法，提高運用已有知識分析、解決問題的能力；

3、情感態(tài)度與價值觀：在探究余弦定理的過程中培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新意識，形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維方式，培養(yǎng)用數(shù)學觀點解決問題的能力和意識、

三、教學方法的選擇

基于本節(jié)課是屬于新授課中的數(shù)學命題教學，根據(jù)《學記》中啟發(fā)誘導的思想和布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論，我將主要采用“啟發(fā)式教學”和“探究性教學”的教學方法即從一個實際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)無法使用剛學習的正弦定理解決，造成學生在認知上的沖突，產(chǎn)生疑惑，從而激發(fā)學生的探索新知的欲望，之后進一步啟發(fā)誘導學生分析，綜合，概括從而得出原理解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力。

在教學中利用計算機多媒體來輔助教學，充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點。

四、教學過程的設計

為達到本節(jié)課的教學目標、突出重點、突破難點，在教材分析、確定教學目標和合理選擇教法與學法的基礎上，我把教學過程設計為以下四個階段：創(chuàng)設情境、引入課題；探索研究、構建新知；例題講解、鞏固練習；課堂小結，布置作業(yè)。具體過程如下：

1、創(chuàng)設情境，引入課題

利用多媒體引出如下問題：

A地和B地之間隔著一個水塘現(xiàn)選擇一地點C，可以測得的大小及，求A、B兩地之間的距離c。

【設計意圖】由于學生剛學過正弦定理，一定會采用剛學的知識解題，但由于無法找到一組已知的邊及其所對角，從而產(chǎn)生疑惑，激發(fā)學生探索欲望。

2、探索研究、構建新知

（1）由于初中接觸的是解直角三角形的問題，所以我將先帶領學生從特殊情況為直角三角形（）時考慮。此時使用勾股定理，得。

（2）從直角三角形這一特殊情況出發(fā)，引導學生在一般三角形中構造直角即作邊的高，從而在構造的直角三角形中利用勾股定理列出邊之間的等式關系、

（3）考慮到我們所作的圖為銳角三角形，討論上述結論能否推廣到在為鈍角三角形（）中。

通過解決問題可以得到在任意三角形中都有，之后讓同學們類比出……這樣我就完成了對余弦定理的引入，之后總結給出余弦定理的內(nèi)容及公式表示。

【設計意圖】通過創(chuàng)設情景、引導學生探究出余弦定理這一數(shù)學體驗，既可以培養(yǎng)學生分析問題的能力，也可以加深學生對余弦定理的認識、

在學生已學習了向量的基礎上，考慮到新課改中要求使用新工具、新方法，我會引導同學類比向量法證明正弦定理的過程嘗試使用向量的方法證明余弦定理、之后引導學生對余弦定理公式進行變形，用三邊值來表示角的余弦值，給出余弦定理的第二種表示形式，這樣就完成了新知的構建。

根據(jù)余弦定理的兩種形式，我們可以利用余弦定理解決以下兩類解斜三角形的問題：

（1）已知三邊，求三個角；

（2）已知三角形兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。

3、例題講解、鞏固練習

本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握使用余弦定理解決問題的方法。其中例題先以學生自己思考解題為主，教師點評后再規(guī)范解題步驟及板書，課堂練習請同學們自主完成，并請同學上黑板板書，從而鞏固余弦定理的運用。

例題講解：

例1在中，

（1）已知，求；

（2）已知，求。

【設計意圖】例題1分別是通過已知三角形兩邊及其夾角求第三邊，已知三角形三邊求其夾角，這樣余弦定理的兩個形式分別得到了運用，進而鞏固了學生對余弦定理的運用。

例2對于例題1（2），求的大小。

【設計意圖】已經(jīng)求出了的度數(shù)，學生可能會有兩種解法：運用正弦定理或運用余弦定理，比較正弦定理和余弦定理，發(fā)現(xiàn)使用余弦定理求解角的問題可以避免解的取舍問題。

例3使用余弦定理證明：在中，當為銳角時；當為鈍角時，

【設計意圖】例3通過對和的比較，體現(xiàn)了“余弦定理是勾股定理的'推廣”這一思想，進一步加深了對余弦定理的認識和理解。

課堂練習：

練習1在中，

（1）已知，求；

（2）已知，求。

【設計意圖】檢驗學生是否掌握余弦定理的兩個形式，鞏固學生對余弦定理的運用。

練習2若三條線段長分別為5，6，7，則用這三條線段（）。

A、能組成直角三角形

B、能組成銳角三角形

C、能組成鈍角三角形

D、不能組成三角形

【設計意圖】與例題3相呼應。

練習3在中，已知，試求的大小。

【設計意圖】要求靈活使用公式，對公式進行變形。

4、課堂小結，布置作業(yè)

先請同學對本節(jié)課所學內(nèi)容進行小結，教師再對以下三個方面進行總結：

（1）余弦定理的內(nèi)容和公式；

（2）余弦定理實質(zhì)上是勾股定理的推廣；

（3）余弦定理的可以解決的兩類解斜三角形的問題。

通過師生的共同小結，發(fā)揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養(yǎng)學生的歸納和概括能力。

布置作業(yè)

必做題：習題1、2、1、2、3、5、6；

選做題：習題1、2、12、13。

【設計意圖】

作業(yè)分為必做題和選做題、針對學生素質(zhì)的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高。

各位老師，以上所說只是我預設的一種方案，但課堂是千變?nèi)f化的，會隨著學生和教師的臨時發(fā)揮而隨機生成。預設效果如何，最終還有待于課堂教學實踐的檢驗。

本說課一定存在諸多不足，懇請老師提出寶貴意見，謝謝。

余弦定理教案【篇11】

一、教材分析

1.地位及作用

“余弦定理”是人教A版數(shù)學必修5主要內(nèi)容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具具有廣泛的應用價值，起到承上啟下的作用。

2.教學重、難點

重點：余弦定理的證明過程和定理的簡單應用。

難點：利用向量的數(shù)量積證余弦定理的思路。

二、教學目標

知識目標：能推導余弦定理及其推論，能運用余弦定理解已知“邊，角，邊”和“邊，邊，邊”兩類三角形。

能力目標：培養(yǎng)學生知識的遷移能力；歸納總結的能力；運用所學知識解決實際問題的能力。

情感目標：從實際問題出發(fā)運用數(shù)學知識解決問題這個過程體驗數(shù)學在實際生活中的運用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學的理性和嚴謹。

三、教學方法

數(shù)學課堂上首先要重視知識的發(fā)生過程，既能展現(xiàn)知識的獲取，又能暴露解決問題的思維。在本節(jié)教學中，我將遵循“提出問題、分析問題、解決問題”的步驟逐步推進，以課堂教學的組織者、引導者、合作者的身份，組織學生探究、歸納、推導，引導學生逐個突破難點，師生共同解決問題，使學生在各種數(shù)學活動中掌握各種數(shù)學基本技能，初步學會從數(shù)學角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的愿望和興趣。

四、教學過程

本節(jié)教學中通過創(chuàng)設情境，充分調(diào)動學生已有的學習經(jīng)驗，讓學生經(jīng)歷“現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題”的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，把學生的潛意識狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識。又通過實際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質(zhì)。

幫助學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的積極討論。你能夠有更好的具體的量化方法嗎？問題可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩邊長和夾角求第三邊的問題，即：在中已知AC=b,AB=c和A,求a.

學生對向量知識可能遺忘，注意復習；在利用數(shù)量積時，角度可能出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，引導學生分析問題。在中已知a=5,b=7,c=8,求B.

學生思考或者討論，若有同學答則順勢引出推論，若不能作答則由老師引導推出推論，然后返回解決該問題。

讓學生觀察推論的特征，討論該推論有什么用。

余弦定理教案【篇12】

一、教材分析：（說教材）

《余弦定理》是全日制中等國家規(guī)劃教材（人教版）數(shù)學第一冊中第六章平面向量第六部分。余弦定理是歐氏空間度量幾何的最重要定理，是解斜三角形的重要定理，是整個測量學的基礎。余弦定理是勾股定理的推廣，可用解析法、向量法等方法證明。余弦定理主要能解決有關三角形的三類問題：

1）、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。

2）、已知三邊求三個內(nèi)角；

3）、判斷三角形的形狀。以及相關的證明題。

二、說教學思路

本著數(shù)學與專業(yè)有機結合的指導思想，讓數(shù)學服務于專業(yè)的需要。以及最大限度的提高學生的學習興趣，在本節(jié)課，我不是將余弦定理簡單呈現(xiàn)給學生，而是創(chuàng)造設情境，設計了與機械相關聯(lián)并具有愛國主題的二個任務，通過任務驅(qū)動法教學，極大提高了學生的學習興趣，激發(fā)學生探索新知識的強烈求知欲望，在完成數(shù)學教學任務的同時，強化了數(shù)學與專業(yè)的有機結合，培養(yǎng)了學生將數(shù)學知識運用于自身專業(yè)中的能力。同時通過任務驅(qū)動，培養(yǎng)了學生自主探究式學習的能力；提升解決實際實際問題的能力。因為所設計的兩個任務具有愛國主義題材，學生在完成知識學習的同時，也極大的激發(fā)了愛國主義精神。

三、說教法

在確定教學方法前，首先要求教師吃透教材，選擇恰當?shù)慕虒W方法和教學手段把知識傳授給學生。本節(jié)課主要采用任務驅(qū)動法、引導發(fā)現(xiàn)法、觀察法、歸納總結法、講練結合法。并采用電教手段使用多媒體輔助教學。

1.任務驅(qū)動法

教師精心設計與機械專業(yè)相關聯(lián)的二個任務，作為貫穿整節(jié)課的主線，通過具體任務的完成，提高學生學習的興趣，激發(fā)求知欲，啟發(fā)學生對問題進行思考。在研究過程中，激發(fā)學生探索新知識的強烈欲望。提升解決實際總是的能力，并極大的激發(fā)了愛國主義精神。

2.引導發(fā)現(xiàn)法、觀察法

通過對勾股定理的觀察和三角形直角的相關變形，學生從中受啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)余弦定理，并證明它。

3.歸納總結法

學生通過前期的探索研究，自主歸納總結出余弦定理及其推論及判斷三角形形狀的相關規(guī)律。

4.講練結合法

講授充分發(fā)揮教師主導作用，引導學生自主學習。練習讓學生從多角度對所學定理進行認知，及時鞏固所學的知識，鍛煉了解決實際問題的能力，發(fā)揮出學生的主觀能動性，成為學習的主體。

四、說學法

學生學法主要有觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、自主探究、小組協(xié)作等方法。經(jīng)教師啟發(fā)、誘導，學生通過觀察與分析去發(fā)現(xiàn)并證明余弦定理，培養(yǎng)歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力，訓練思維品質(zhì)。

五、教學目標

（一）知識目標

1、使學生掌握余弦定理及其證明。

2、使學生初步掌握應用余弦定理解斜三角形。

1

（二）能力目標

1、培養(yǎng)學生在本專業(yè)范圍內(nèi)熟練運用余弦定理解決實際問題的能力。

2、通過啟發(fā)、誘導學生發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理的過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、猜想、抽象、概括等邏輯思維能力。

3、通過對余弦定理的推導，培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識，及合作學習的意識。

（三）德育目標

1、培養(yǎng)學生的愛國主義精神、及團結、協(xié)作精神。

2、通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識的聯(lián)系理解事物之間普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

六、教學重點

教學重點是余弦定理及應用余弦定理解斜三角形；

七、教學難點

分析勾股定理的結構特征，從而突破發(fā)現(xiàn)余弦定理，應用余弦定理解斜三角形。八、教學過程

教學中注重突出重點、突破難點，從五個層次進行教學。

創(chuàng)設情境、任務驅(qū)動；

引導探究、發(fā)現(xiàn)定理；

完成任務、應用遷移；

拓展升華、交流反思；

小結歸納、布置作業(yè)。

（一）、導入

1、教師創(chuàng)設情境設置二個任務，做為貫穿本課的主線和數(shù)學與專業(yè)有機結合的鈕帶，通過完成這二個任務，達到掌握余弦定理并學會應用的目標。

2、通過與直角三角形勾股定理引出余弦定理（快樂起點）經(jīng)教師啟發(fā)、誘導，學生通過探索研究，合理猜想來發(fā)現(xiàn)余弦定理。

（二）、新課

3.證明猜想，導出余弦定理及余弦定理的變形

經(jīng)過嚴密邏輯推理證明得出余弦定理，這一過程中，鍛煉了學生觀察、分析、歸納、猜想、抽象、概括等邏輯思維能力。

4.解決二個任務

5.操作演練，鞏固提高。

6.小結：

通過學生口答方式小結，讓學生強化記憶，分清重點，深化對余弦定理的理解。

7.作業(yè)：

分層布置作業(yè)，根據(jù)不同層次學生將作業(yè)分為必做題和選做題。使不同程度的學生都有所提高

八、板書設計

板書是課堂教學重要部分，為再現(xiàn)知識體系，突出重點，將余弦定理知識體系展示在板書中，利于學生加深印象，理清思路。

九、課后反思

在教學設計上，采用任務驅(qū)動，教師精心設計與機械專業(yè)相關聯(lián)的二個任務，作為貫穿整節(jié)課的主線，通過具體任務的完成，即提高學生學習的興趣，又激發(fā)求知欲；知識點學習則循序漸進，符合學生的認知特點。經(jīng)教師啟發(fā)、誘導，學生通過觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、自主探究、小組協(xié)作等方法在獲取新知的同時，培養(yǎng)了歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力。

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